"OS QUATRO QUATROS"
Ao ver Beremiz interessado em adquirir o turbante azul,
objetei:
- Julgo loucura comprar esse luxo. Estamos com pouco
dinheiro e ainda não pagamos a hospedaria.
- Não é o turbante que me interessa - retorquiu Beremiz.
- Repare que a tenda desse mercador é intitulada
"Os Quatro Quatros". Há nisso tudo espantosa
coincidência digna de atenção.
- Coincidência? Por quê?
- Ora bagdali - retorquiu Beremiz -, a legenda que figura nesse
quadro recorda uma das maravilhas do Cálculo: podemos
formar um número qualquer empregando
quatro quatros!
E antes que eu o interrogasse sobre aquele enigma,
Beremiz explicou, riscando na areia fina que cobria o chão:
- Quer formar o zero? Nada mais simples. Basta escrever:
44 - 44
- Estão aí quatro quatros formando uma expressão
que é igual a zero.
Passemos ao número 1. Eis a forma mais cômoda:
44/44
- Representa essa fração, o quociente da divisão de 44 por 44.
E esse quociente é 1.
Quer ver agora, o número 2? Podem-se aproveitar facilmente
os quatro quatros e escrever:
4/4 + 4/4
- A soma das duas frações é exatamente igual a 2.
O três é mais fácil.
Basta escrever a expressão:
(4 + 4 + 4)/ 4
- Repare que a soma 12, dividida por quatro, dá um
quociente 3. Eis, portanto, o 3 formado por quatro quatros.
- E como vai formar o próprio número 4? - perguntei
- Nada mais simples - explicou Beremiz - o 4 pode ser
formado de várias maneiras diferentes.
Eis uma expressão equivalente a 4:
- Observe que a segunda parcela é nula, e que a soma
fica igual a quatro.
4 + (4-4)/4
A expressão escrita equivale a 4+0, ou 4.
Notei que o mercador sírio acompanhava atento, sem perder
palavra, a explicação de Beremiz, como se muito lhe
interessassem aquelas expressões aritméticas formadas
por quatro quatros.¹ Beremiz prosseguiu:
Quero formar, por exemplo, o número 5. Não há dificuldade.
Escreveremos:
(4 x 4 +4)/ 4
- Exprime esse arranjo numérico a divisão de 20 por 4.
E o quociente é 5.
Temos desse modo o 5 escrito como quatro quatros.
A seguir passemos ao 6, que apresenta uma forma
muito elegante:
(4 + 4)/ 4+ 4
- Uma pequena alteração nesse interessante conjunto
conduz ao resultado 7:
44/4 - 4
- É muito simples a forma que pode ser adotada para
o número 8 escrito com quatro quatros:
4 + 4 + 4 - 4
- O número 9 não deixa de ser também interessante:
(4 + 4) + 4/4
- Eis agora uma expressão muito elegante, igual a 10,
formada com quatro Quatros ²:
(44 - 4) /4
Nesse momento o corcunda, dono da tenda, que estivera
a acompanhar a explicação do calculista em atitude de
respeitoso silêncio interesse, observou:
- Pelo que acabo de ouvir, o senhor é exímio nas contas
e nos cálculos.
Dar-lhe-ei de presente o belo turbante azul se souber explicar
certo mistério encontrado numa soma, que há dois anos me
tortura o espírito. E o mercador narrou o seguinte:
- Emprestei certa vez a quantia de 100 dinares, sendo
50 a um cheique de Medina e outros 50 a um judeu do Cairo.
O Medinense pagou a dívida em quatro parcelas, do seguinte
modo: 20, 15, 10 e 5. Assim:
Pagou 20, ficou devendo 30
Pagou 15, ficou devendo 15
Pagou 10, ficou devendo 5
Pagou 5, ficou devendo 0
Soma 50 Soma 50
Repare, meu amigo que tanto a soma das quantias pagas
como a dos saldos devedores são iguais a 50.
O judeu cairota pagou, igualmente os 50 dinares em quatro
prestações, do seguinte modo:
Pagou 20, ficou devendo 30
Pagou 18, ficou devendo 12
Pagou 3, ficou devendo 9
Pagou 9, ficou devendo 0
Soma 50 Soma 51
Convém observar agora que a primeira soma é 50 (como no
caso anterior), ao passo que a outra dá um total de 51.
Não sei explicar essa diferença de 1 que se observa na
segunda forma de pagamento. Bem sei que não fui
prejudicado (pois recebi o total da dívida), mas como
justificar o fato de ser a segunda soma igual a 51 e não
a 50?
- Meu amigo - esclareceu Beremiz -, isto se explica com
poucas palavras.
Nas contas de pagamento, os saldos devedores não tem
relação alguma com o total da dívida. Admitamos que
uma dívida de 50 fosse paga em três prestações:
a primeira de 10, a segunda de 5 e a terceira de 35.
Eis a conta, com os saldos:
Pagou 10, ficou devendo 40
Pagou 5, ficou devendo 35
Pagou 35, ficou devendo 0
Soma 50 Soma 75
Neste caso a primeira soma é ainda 50, ao passo que a soma
dos saldos é como se vê 75; podia ser 80, 90, 100, 260, 800
ou um número qualquer. Só por acaso dará exatamente 50
(como no caso do cheique) ou 51 (como no caso do judeu).
O mercador alegrou-se por ter entendido a explicação dada
por Beremiz e cumpriu a promessa feita, oferecendo ao
calculista o turbante azul que valia quatro dinares.
1 Dada a natureza e a finalidade deste livro, admitimos o emprego de sinais matemáticos modernos. É evidente que na época em que viveu Beremiz, a notação matemática era diferente. (Malba Tahan).
2 Com quatro quatros podemos escrever um número qualquer desde 0 até 100.
Retirado do Livro: O Homem que Calculava.
A SINGULAR AVENTURA DOS 35 CAMELOS 
Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção,
quando nos ocorreu uma aventura digna de registro,
na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento,
pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista.
Encontramos perto de um antigo caravançará¹ meio
abandonado, três homens que discutiam acaloradamente
ao pé de um lote de camelos.
Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:
- Não pode ser!
- Isto é um roubo!
- Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
- Somos irmãos - esclareceu o mais velho - e recebemos
como herança esses 35 camelos.
Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber
a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte,
e, ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte.
Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos,
e, a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros
dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha
se a terça e a nona parte de 35 também não são exatas?
- É muito simples - atalhou o Homem que Calculava.
- Encarrego-me de fazer com justiça essa divisão, se
permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este
belo animal que em boa hora aqui nos trouxe!
Neste ponto, procurei intervir na questão:
- Não posso consentir em semelhante loucura!
Como poderíamos concluira viajem se ficássemos
sem o camelo?
- Não te preocupes com o resultado, ó Bagdali!
- replicou-me em voz baixa Beremiz
- Sei muito bem o que estou fazendo.
Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero
chegar. Tal foi o tom de segurança com que ele falou,
que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo jamal,²
que imediatamente foi reunido aos 35 ali presentes,
para serem repartidos pelos três herdeiros.
- Vou, meus amigos - disse ele, dirigindo-se aos três irmãos -,
fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora,
como vêem em número de 36.
E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
- Deverias receber meu amigo, a metade de 35, isto é,
17 e meio. Receberás a metade de 36, portanto, 18.
Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com
esta divisão. E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
- E tu, Hamed Namir, deverias receber um terço de 35,
isto é 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é 12.
Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível
lucro na transação.E disse por fim ao mais moço:
E tu jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai,
deverias receber uma nona parte de 35, isto é 3 e tanto.
Vais receber uma nona parte de 36, isto é, O teu lucro foi
igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado!
E concluiu com a maior segurança e serenidade:
- Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir
- partilha em que todos três saíram lucrando
- couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4
ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4)
de 34 camelos. Dos 36 camelos, sobram, portanto, dois.
Um pertence como sabem ao bagdáli, meu amigo e
companheiro, outro toca por direito a mim, por ter resolvido a
contento de todos o complicado problema da herança!
- Sois inteligente, ó Estrangeiro!
- exclamou o mais velho dos três irmãos.
- Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita
com justiça e equidade! E o astucioso Beremiz
- o Homem que Calculava - tomou logo posse de um dos mais
belos "jamales" do grupo e disse-me, entregando-me
pela rédea o animal que me pertencia:
- Poderás agora, meu amigo, continuar a viajem no teu
camelo manso e seguro! Tenho outro, especialmente para mim!
E continuamos nossa jornada para Bagdá.
1 Refúgio construído pelo governo ou por pessoas piedosas à beira do caminho, para servir de abrigo aos peregrinos. Espécie de rancho de grandes dimensões em que se acolhiam as caravanas.
2 Uma das muitas denominações que os árabes dão ao camelo.
Texto extraído do livro- O Homem que Calculava.
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